Question

ПОЖАЛУСТА МЛЯМУХА.. перших п'яти членів геометричної прогресії (bп), якщо різниця третього і другого її членів дорівнює 6, а різниця четвертого і другого членів дорівнює 30.

Answer 1

Задача:

Найти сумму пяти первых членов геометрической прогрессии, если разность третьего и второго ее членов равна 6, а разность четвертого и второго членов равна 30.

Решение:

$b_{2}=b_{1}q;\:\: b_{3}=b_{1}q^2; \:\: b_{4}=b_{1}q^3; \:\: b_{5}=b_{1}q^4$

Составим систему:

$\left \{ {{b_3-b_2= 6} \atop {b_4-b_2 = 30}}; \:\: \right. \left \{ {{b_1q^2-b_1q = 6} \atop {b_1q^3-b_1q= 30}}; \:\: \right. \left \{ {{b_1q(q-1)= 6} \atop {b_1q(q^2-1) = 30}} \right.$

Выразим из системы q:

$\frac{b_1q(q^2-1)}{b_1q(q-1)} = \frac{30}{6}; \:\: \frac{q^2-1}{q-1} = 5; \:\:\frac{(q-1)(q+1)}{q-1} =5\\\\q+1=5; \:\:q=4$

Найдем значение первого члена геометрической прогрессии:

$\\\\b_1q(q-1)= 6; \:\:b_1 \cdot 4(4-1) = 6; \:\: b_1\cdot 12= 6; \:\: \\\\b_1= \frac{1}{2}$

Найдем сумму первых пяти членов прогрессии:

$S_n= \frac{b_1(1-q^n)}{1-q} \\\\S_5= \frac{ 0,5\:\cdot \: (1-4^5)}{1-4} = \frac{0,5 \cdot( 1-1024)}{-3} =\frac{-1023}{-6} = \frac{341}{2}=170\frac{1}{2} =170,5$

Ответ:

Сумма первых пяти членов заданной геометрической прогрессии равна 170,5.

_________________________________

* q — знаменатель геометрической прогрессии

 b₁ — 1-й член геометрической прогрессии

 b₂, b₂,... — 2-й, 3-й и т.д. члены геометрической прогрессии

 Sₙ — сумма n первых членов геометрической прогрессии

_________________________________

$b_1=\frac{1}{2} \\\\b_2=b_1q^1 = \frac{1}{2}\cdot 4^1=\frac{4}{2} = 2 \\\\b_3=b_1q^2 = \frac{1}{2}\cdot 4^2=\frac{16}{2} = 8 \\\\b_4=b_1q^3 = \frac{1}{2}\cdot 4^3=\frac{64}{2} = 32 \\\\b_5=b_1q^4 = \frac{1}{2}\cdot 4^4=\frac{256}{2} = 128 \\\\b_6=b_1q^5 = \frac{1}{2}\cdot 4^5=\frac{1024}{2} =512 \\\\...$