Question

Тема: Доказательство неравенств

Докажите, что при любом "а" дробь
$\frac{{a}^{4} + 2}{0.5 + {a}^{2}}$
принимает значение, большее или равное 2​

Answer 1

Для начала вычислим производную.$\left(\frac{a^4 + 2}{0.5+a^2}\right)' = \frac{4a^3(0.5 + a^2) - 2a(a^4 + 2)}{(0.5+a^2^)^2} = \frac{2a^3 + 4a^5 - 2a^5 - 4a}{(0.5+a^2^)^2} = \frac{2a^5+2a^3-4a}{(0.5+a^2^)^2}\\\\2a^5 + 2a^3 - 4a = 0\\2a(a^4 +a^2-2) = 0$

Найдём точки экстремума функции:

$1. a = 0\\2. a^4 + a^2 - 2 = 0\\D = 1 + 8 = 9\\a_{1/2}^2 = \frac{-1 \pm 3}{2}$

Отрицательные корни не рассматриваем, остаётся:

$a^2 = 1\\a = \pm1$

Теперь проверим на минимумы и максимумы:

$a\in(-\infty, -1) \rightarrow f'(x) < 0\\a\in(-1, 0) \rightarrow f'(x) > 0\\a\in(0, 1) \rightarrow f(x) < 0\\a\in(1, \infty) \rightarrow f(x) > 0$

Можно заметить, что точки a = ±1 являются минимумами функции. Теперь найдем значение в этих точках:

$f(1) = f(-1) = \frac{1 + 2}{0.5 + 1} = 2$

Что и требовалось доказать.