Question

Исследовать функцию двух переменных на экстремум. Помогите пожалуйста решить.

Answer 1

Ответ:

z(-2;-3)=-41 - минимум функции

Пошаговое объяснение:

$z'_x=6x-2y+6 \\ z'_y=8y-2x+20$

$\left\{\begin{matrix}6x-2y+6=0\ |:2 \\ 8y-2x+20=0 \ |:2\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}3x-y+3=0 \\ 4y-x+10=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=3x+3 \\ 4(3x+3)-x+10=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \\ \\ \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=3x+3 \\ 12x+12-x+10=0\end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=3x+3 \\ 11x=-22\end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=3(-2)+3 \\ x=-2\end{matrix} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}y=-3 \\ x=-2\end{matrix}$

M(-2;-3) - стационарная точка

$A=z''_{xx}=6 >0 \\ B=z''_{xy}=-2 \\ C=z''_{yy}=8 \\ \\ AC-B^2=6*8-(-2)^2=48-4=44>0$

M(-2;-3) - точка минимума

$z(-2;-3)=3*(-2)^2+4*(-3)^2-2*(-2)*(-3)+6*(-2)+20*(-3)- 5\\ \\ =-41$