Один из углов при основании треугольника в 2 раза больше другого. Высота, опущенная на основание, делит его на два отрезка. Докажите, что разность этих отрезков равна одной из сторон треугольника.
Ответы
Сделаем рисунок и обозначим треугольник АВС, его высоту – ВН. Пусть ∠ А=α, ∠С=2α. Отложим от основания Н высоты отрезок НК=НС. Треугольник КВС – равнобедренный. ⇒ ∠ВКС=∠ВСК=2α.
Угол ВКС - внешний при вершине К треугольника АВК и равен сумме внутренних углов, не смежных с ним (свойство).
Т.к. ∠ВАК=α, то ∠АВК=2α-α=α. ⇒
∆ АВК равнобедренный, АК=ВК=ВС ( из построенного ∆ КВС).
Т.к. КН=СН, отрезок АК – разность отрезков. на которые высота делит основание. и равен стороне ВС. Доказано.
Ответ:
Вариант для любителей тригонометрии
Объяснение:
Дан треугольник АВС с основанием АС и высотой h, проведенной к основанию. Стороны треугольника
АВ = "с", ВС = "а".
Пусть основание делится высотой на отрезки, равные x и y, считая от вершины А. Тогда из прямоугольных треугольников, на которые высота делит исходный треугольник, имеем:
x = c*cosa. y = a*cos2a.
c = h/sina. a = h/sin2a. cos2a = h/а. =>
x = h*cosa/sina. y = h*cos2a/sin2a.
x - y = h(cosa/sina - cos2a/sin2a).
Sin2a = 2sina·cosa. (формула двойного аргумента)
Cos2a = 1 - 2sin²а. (формула двойного аргумента) Тогда
cosa/sina - cos2a/sin2a =
(cosa·sin2a - cos2a·sina)/(sina·sin2a). =>
sina(2cos²а - cos2a)/(sina·cos2a)=(2cos²а - cos2a)/(cos2a).
(2cos²а - 1 + 2sin²а)/(cos2a) =
(2cos²а + 2sin²а - 1)/(cos2a) = 1/cos2a. =>
x - y = h/cos2a. cos2a = h/а. =>
x - y = h/(h/а) = а.
Что и требовалось доказать.
