Question

Решить дифференциальное уравнение:

Answer 1

Тип: дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижения порядка.

Пусть $y'=u(x)$, тогда $y''=u'$, получаем :

$u'=u+x\\ \\ u'-u=x$

Умножим обе части уравнения на $e^{\int -dx}=e^{-x}$, получаем

$u'e^{-x}-ue^{-x}=xe^{-x}\\ \\ \Big(u\cdot e^{-x}\Big)'=xe^{-x}$

Интегрируем обе части уравнения

$\displaystyle u\cdot e^{-x}=\int xe^{-x} dx$

В правой части уравнения интеграл будем считать путём интегрирования по частям

$\displaystyle \int xe^{-x}dx=\left|\begin{array}{ccc}u=x;~~~ du=dx\\ \\ e^{-x}dx=dv;~~~ v=-e^{-x}\end{array}\right|=-xe^{-x}+\int e^{-x}dx=\\ \\ \\ =-xe^{-x}-e^{-x}+C_1=C_1+e^{-x}\Big(-x-1\Big)$

$u=C_1e^{x}-x-1$

Выполним обратную замену

$y'=C_1e^{x}-x-1\\ \\ \displaystyle y=\int \Big(C_1e^{x}-x-1\Big)dx=\boxed{\bf C_1e^{x}-\dfrac{x^2}{2}-x}$

Ответ: $y=C_1e^{x}-\dfrac{x^2}{2}-x$.