Question

Найдите наибольшее значение функции y = 2 cos x + √3x - √3π/3 на отрезке [0; π/2]

Answer 1

Чтобы найти наибольшее значение на отрезке, нужно найти экстремумы функции и сравнить их со значенями функции на концах отрезка. Подозрительные на экстремум точки - это точки, в которых производная функции равна нулю. Найдем производную и выясним, в каких точках она равна нулю.(^3x^-квадратный корень)

y'=(2cos x+^3x^-^3п^/3)'=(2cos x)'+(^3x^)'-(^3п^/3)=2(-sin x)+^3^-0=-2sin x+^3^

Выясним в каких точках производная равна нулю.

-2sin x+^3^=02sin x=^3^sin x=^3^/2x=(-1)k arcsin^3^/2+пk,k принадлежит Z

В условиях задачи задан отрезок [0;п/2], поэтому нам нужно выбрать только значения из этого промежутка. Этому условию удовлетворяет только точка x=п/3.

Найдем значение функции в этой точке:

y(п/3)=2cos(п/3)+^3^*(п/3)-^3п^/3=2*1/2+^3п^/3-^3п^/3=1

Найдем значения функции на концах отрезка:

y(0)=2cos 0+^3^*0-^3п^/3=2-^3п/3^

y(п/2)=2cos(п/2)+^3^*п/2-^3п^/3=2*0+^3п^/2-^3п^/3=^3п^/6

Выбираем максимальное из трех значений 1,2 - ^3п^/3, ^3п^/6.  Это 1.

Ответ: 1