Question

Мне нужна помощь пожалуйста​

Answer 1

$\displaystyle \int\limits {\cos 5x \cos 3x} \, dx$

Воспользуемся формулой преобразования произведения тригонометрических функций в сумму: $\cos \alpha \cos \beta = \dfrac{1}{2} (\cos (\alpha - \beta ) + \cos (\alpha + \beta ))$

$\displaystyle \int\limits {\dfrac{1}{2} (\cos 2x + \cos 8x)} \, dx$

$\displaystyle \int\limits {\left(\dfrac{1}{2}\cos 2x + \dfrac{1}{2}\cos 8x}\right) \, dx$

Воспользуемся свойством интеграла $\displaystyle \int\limits {(f(x) + g(x))} \, dx = \displaystyle \int\limits {f(x)} \, dx + \displaystyle \int\limits {g(x)} \, dx$

$\displaystyle \int\limits {\dfrac{1}{2}\cos 2x \, dx + \displaystyle \int\limits {\dfrac{1}{2}\cos 8x \, dx$

Воспользуемся свойством интеграла $\displaystyle \int\limits {kf(x)} \, dx = k\displaystyle \int\limits {f(x)} \, dx, \ k = \text{const}$

$\dfrac{1}{2}\displaystyle \int\limits {\cos 2x \, dx + \displaystyle \dfrac{1}{2}\int\limits{\cos 8x} \, dx$

Воспользуемся свойством интеграла $\displaystyle \int\limits {f(kx)} \, dx = \dfrac{1}{k}F(kx) + C$, где $F$ — первообразная для функции $f$, $C$ — некоторая постоянная.

$\dfrac{1}{4} \sin 2x + \dfrac{1}{16} \sin 8x + C$

Ответ: $\dfrac{1}{4} \sin 2x + \dfrac{1}{16} \sin 8x + C$