Question

Задачи на математическую индукцию. Найти сумму в обоих пунктах (через формулу). Написать нормальное решение( База, переход)
Даю 50 баллов.

Answer 1

a) Покажем, что $\dfrac{1\cdot 2!}{2}+\dfrac{2\cdot 3!}{2^2}+\dots+\dfrac{n(n+1)!}{2^n}=\dfrac{(n+2)!}{2^n}-2$

Докажем равенство методом математической индукции

База индукции $n=1$ справедливо: $\dfrac{1\cdot 2!}{2}=\dfrac{3!}{2}-2=1$. Допустим, что равенство $\dfrac{1\cdot 2!}{2}+\dfrac{2\cdot 3!}{2^2}+\dots +\dfrac{n(n+1)!}{2^n}=\dfrac{(n+2)!}{2^n}-2$ справделиво, и докажем, что оно влечет равенство

$\dfrac{1\cdot 2!}{2}+\dfrac{2\cdot 3!}{2^2}+\dots+\dfrac{n(n+1)!}{2^n}+\dfrac{(n+1)(n+2)!}{2^{n+1}}=\dfrac{(n+3)!}{2^{n+1}}-2$

Действительно,

$\dfrac{1\cdot 2!}{2}+\dfrac{2\cdot 3!}{2^2}+\dots +\dfrac{n(n+1)!}{2^n}+\dfrac{(n+1)(n+2)!}{2^{n+1}}=\dfrac{(n+2)!}{2^n}-2+\\ \\ +\dfrac{(n+1)(n+2)!}{2^{n+1}}=\dfrac{(n+2)!}{2^n}\cdot \left(1+\dfrac{n+1}{2}\right)-2=\dfrac{(n+2)!}{2^n}\cdot \dfrac{n+3}{2}-2=\\ \\ \\ =\dfrac{(n+2)!(n+3)}{2^{n+1}}-2=\dfrac{(n+3)!}{2^{n+1}}-2$

Следовательно, равенство имеет место для любого $n \in \mathbb{N}$

б) Аналогично, доказывается $\dfrac{1\cdot 3!}{3}+\dfrac{2\cdot 4!}{3^2}+\dots +\dfrac{n\cdot(n+2)!}{3^n}=\dfrac{(n+3)!}{3^n}-6$

Второй пункт для самостоятельного упражнения.