Question

Даны 2 прямоугольных равнобедренных треугольника, причем сторона одного треугольника равна стороне другого.
Равны ли эти треугольники?

Answer 1

По определению прямоугольно треугольника, два угла, прилежащих к гипотенузе — острые, как как третий угол — 90°. Гипотенуза всегда больше катетов, значит, больший угол всегда лежит напротив гипотенузы. В случае равнобедренного треугольника, равны и катеты.

Дани ΔABC и ΔA'B'C'.  Один из их углов — 90°, два других, прилежащих к гипотенузе, — равны, т.к. равны катеты. Пусть ∠B = ∠B' = 90°.

По условию, какая-то сторона одного Δ равна стороне другого Δ.

Рассмотрим, если это один из катетов.

AB=A'B'

Так как катет одного треугольника будет равен катету другого, то смежные катеты данных треугольников также будут равны по признаку равнобедренного прямоугольного треугольника (BC=B'C'). Т.к. катеты образуют прямой угол, эти треугольники равны по первому признаку равенства треугольников:

• Если две стороны и угол между ними одного треугольника и соответствующие им две стороны и угол между ними второго треугольника равны, то данные треугольники равны.

Рассмотрим, если эта сторона — гипотенуза.

AC=A'C'

Напротив гипотенузы лежит ∠B в 90°, Значит, сумма других углов равна 180−90°=90°. Т.к. треугольник равнобедренный, острые углы при основании (гипотенузе) будут равными 90/2 = 45°. Аналогично для второго треугольника ⇒ ∠A=∠A'=∠C=∠C' = 45°. Треугольники ABC и A'B'C' равны по второму признаку равенства треугольников:

• Если сторона и два угла, прилежащих к этой стороне, одного треугольника и соответствующая им сторона и два угла, прилежащим к этой стороне, второго треугольника равны, то такие треугольники равны.

П.С.: Для доказательства равенства можно  пользоваться и признаками равенства прямоугольных Δ.

Ответ: Два прямоугольных равнобедренных треугольника, сторона одного из которых равна стороне другого, равны.