Question

Помогите с вероятностями

Answer 1

Задача. Производится 6 независимых испытаний. При каждом испытании событие А появляется с одной и той же вероятностью, равной 2/3. Найти вероятность того, что в данной испытаний событие А произойдёт: а) 5 раз; б) не менее 5 раз; в) хотя бы один раз.

Решение:

Во всех случаях будем использовать формулу Бернулли. Всего испытаний $n=6$. Вероятность успеха в одном испытании $p=\dfrac{2}{3}$, тогда вероятность $q=1-p=\dfrac{1}{3}$.

a) Вероятность того, что в 6 серии испытаний событие А произойдёт 5 раз:

$P(A)=C^5_6p^5q=6p^5q=6\cdot \left(\dfrac{2}{3}\right)^5\cdot \dfrac{1}{3}=\dfrac{64}{243}$

б) Вероятность того, что в данной серии испытаний событие A произойдет не менее 5 раз:

$P(A)=C^5_6p^5q+p^6=\dfrac{64}{243}+\left(\dfrac{2}{3}\right)^6=\dfrac{256}{729}$

в) Найдём сначала вероятность того, что в 6 серии испытаний событие А произойдёт 0 раз :

$Q(A)=q^6=\dfrac{1}{3^6}=\dfrac{1}{729}$

Тогда вероятность того, что в данной испытаний событие А произойдёт хотя бы один раз:

$P(A)=1-Q(A)=1-\dfrac{1}{729}=\dfrac{728}{729}$

Ответ: a) 64/243; б) 256/729; в) 728/729.