Question

Компьютерная программа случайным образом отбирает двузначные числа. Если выбранное компьютером число умножить на произведение его цифр, то получится 255. Какое число отобрала программа?

Answer 1

Пусть $\overline{xy}=10x+y$ - случайное двузначное число, которое отбирает компьютер. Согласно условию: $(10x+y)xy=255$

Делители числа 255: 1; 3; 5; 15; 17; 51; 85; 255.

Решаем последнее уравнение в натуральных числах

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=255 \\ & \text{ } xy=1\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$                       $\begin{cases} & \text{ } 10x+y=5 \\ & \text{ } xy=51\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=3 \\ & \text{ } xy=85\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$                           $\begin{cases} & \text{ } 10x+y=15 \\ & \text{ } xy=17\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=17 \\ & \text{ } xy=15\end{cases}~~\Rightarrow~~ \varnothing$                         $\begin{cases} & \text{ } 10x+y=51 \\ & \text{ } xy=5\end{cases}~~\Rightarrow~~ \begin{cases} & \text{ } x=5 \\ & \text{ } y=1 \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=85 \\ & \text{ } xy=3\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\begin{cases} & \text{ } x=\dfrac{85\pm7\sqrt{145}}{20} \\ & \text{ } y=\dfrac{85\pm7\sqrt{145}}{2} \end{cases}$

$\begin{cases} & \text{ } 10x+y=255 \\ & \text{ } xy=1\end{cases}~~~\Rightarrow~~~\varnothing$

Ответ: программа отобрала число 51.