Question

Решить данное уравнение
$\sqrt[5]{\frac{81x}{x-2} } +\sqrt[5]{\frac{x-2}{81x}} =\frac{10}{3}$

Answer 1

Замена переменной:

$\sqrt[5]{\frac{81x}{x-2} }=t\\\\ \sqrt[5]{\frac{x-2}{81x} }=\frac{1}{t}$

t > 0

$t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3} \\\\3t^2-10t+3=0\\\\D=100-4\cdot 3\cdot 3=64\\\\t_{1}=\frac{1}{3}; t_{2}=3$

Обратная замена:

$\sqrt[5]{\frac{81x}{x-2} }=\frac{1}{3} \\\\\frac{81x}{x-2}=\frac{1}{243} \\\\81x\cdot 243=x-2\\\\19682x=-2\\\\x=-\frac{1}{9841}$

или

$\sqrt[5]{\frac{81x}{x-2} }=3\\\\\frac{81x}{x-2}=243 \\\\81x=243\cdot(x-2)\\\\x=3x-6\\\\x-3x=-6\\\\-2x=-6\\\\x=3$

О т в е т. $-\frac{1}{9841}; 3$