Question

20 БАЛЛОВ!!! ОЧЕНЬ СРОЧНО

Доказать, что многочлен х^2+5у^2-4ху+2х-8y +7 принимает положительные значения при любых значениях входящих в него переменных. Найти минимальное значение многочлена и при каких значениях переменных оно достигается.

Answer 1

$x^2+5y^2-4xy+2x-8y+7=x^2+(2-4y)x+7-8y+5y^2=\\ \\ =(x+1-2y)^2-(1-2y)^2+7-8y+5y^2=(x+1-2y)^2+y^2-4y+6=\\ \\ =(x+1-2y)^2+y^2-4y+4+2=(x+1-2y)^2+(y-2)^2+2>0$

Многочлен принимает наименьшее значение при :

$\displaystyle \left \{ {{x+1-2y=0} \atop {y-2=0}} \right. ~~\Rightarrow~~\left \{ {{x=3} \atop {y=2}} \right.$