Предмет: Математика, автор: 69630752a6

Решить однородное дифференциальное уравнение первого порядка:

2xyy' = x^2 + y^2

Ответы

Автор ответа: Аноним
1

Пусть y=ux, тогда y'=u'x+u, получаем

2ux^2(u'x+u)=x^2+u^2x^2\\ \\ x=0;~~ 2uu'x+2u^2=1+u^2\\ \\ 2uu'x=1-u^2

Получили дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

u'=\dfrac{1-u^2}{2ux}\\ \\ \dfrac{du}{dx}=\dfrac{1-u^2}{2ux}~~~\Rightarrow~~ \displaystyle \int \dfrac{2udu}{1-u^2}=\int \dfrac{dx}{x}~~\Rightarrow~~ -\int \dfrac{d(1-u^2)}{1-u^2}=\int \dfrac{dx}{x}\\ \\ \\ \ln|1-u^2|=-\ln |x|+\ln C\\ \\ 1-u^2=\dfrac{C}{x}\\ \\ u=\pm\sqrt{1-\dfrac{C}{x}}

Выполним обратную замену, сделав подстановку u=\dfrac{y}{x}

\dfrac{y}{x}=\pm\sqrt{1-\dfrac{C}{x}}\\ \\ y=\pm x\sqrt{1-\dfrac{C}{x}}

Получили общее решение и это будет ответом.

Похожие вопросы
Предмет: Английский язык, автор: Lolka97