Question

В полярной системе координат вычислить площадь фигуры,заданной уравнением в декартовых координатах x^4=6(3x^2-y^2)

Answer 1

$x^4=6\, (3x^2-y^2)\\\\x=r\cdot cos\phi \; ,\; \; y=r\cdot sin\phi \\\\r^4\cdot cos^4\phi =6\, (3r^2\, cos^2\phi -r^2sin^2\phi )\\\\r^4=\frac{6r^2\, (3cos^2\phi -(1-cos^2\phi ))}{cos^4\phi }\; \; ,\; \; r^2=\frac{6\, (3cos^2\phi -1+cos^2\phi )}{cos^4\phi }\; \; ,\; \; r^2=\frac{24cos^2\phi -6}{cos^4\phi }\; ,\\\\r^2=\frac{24}{cos^2\phi }-\frac{6}{cos^4\phi }\\\\asimptotu:\; y=\pm \sqrt3x\; ;\; \; \; r=0\; ,esli\; \; \phi =\frac{\pi}{3}$

$S=2\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3}(\frac{24}{cos^2\phi }-\frac{6}{cos^2\phi \cdot cos^2\phi })\, d\phi =2\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3}\, (\frac{24}{cos^2\phi }-6\cdot (1+tg^2\phi )\cdot \frac{1}{cos^2\phi })\, d\phi =\\\\=2\int\limits^{\pi /3}_{-\pi /3}\, (\frac{18}{cos^2\phi }-\frac{6tg^2\phi }{cos^2\phi })\, d\phi =2\, (18\, tg\phi -2\, tg^3\phi )\Big|_{-\pi /3}^{\pi /3}=\\\\=2(18\cdot \sqrt3-2\cdot 3\sqrt3)-2(-18\, \sqrt3+2\cdot 3\sqrt3)=24\sqrt3$