Question

максимум баллов
В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при основании равен α, а радиус шара, вписанного в неё, равен r. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

Answer 1

Находим апофему: А = (r/tg(α/2))/cosα.

Высота основания равна: h =  3*(r/tg(α/2)) = (3r/tg(α/2)).

Сторона основания а = h/cos 30° = (3r/tg(α/2))/(√3/2) = (6r/(tg(α/2)*√3)).

Периметр основания Р = 3а = (18r/(tg(α/2)*√3)).

Площадь боковой поверхности равна:

= (9r²/(tg²(α/2)*√3)).

Площадь основания равна:

So = a²√3/4 = (36r²*√3/(tg²(α/2)*3*4)) = (3r²*√3/(tg²(α/2)).

Сложив их, получаем площадь полной поверхности пирамиды:

S = (9r²/(tg²(α/2)*√3)) + (3r²*√3/(tg²(α/2)) = (18r²/(tg²(α/2)*√3)).