Question

Постройте график функции: y=x^2-|x+1|-2x+1
Помогите пожалуйста!!!

Answer 1

$y = x^{2} - |x + 1| - 2x + 1$

Воспользуемся правилом раскрытия модуля: $|x| = \displaystyle \left \{ {{x, \ x\geq 0 \ \ } \atop {-x, \ x < 0}} \right.$

Пусть $x + 1 \geq 0$, то есть $x \geq -1$. Тогда $y = x^{2} - x - 1 - 2x + 1$

Имеем квадратичную функцию $y = x^{2} - 3x$, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем координаты точки вершины параболы:

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{3}{2}$

$y_{0} = \left(\dfrac{3}{2} \right)^{2} - 3 \cdot \dfrac{3}{2} = \dfrac{9}{4} - \dfrac{9}{2} = -\dfrac{9}{2}$

Найдем точки пересечения с осями координат:

1) с осью абсцисс:

$x^{2} - 3x = 0\\x(x - 3) = 0$

$x = 0$ или $x = 3$

2) с осью ординат:

$y(0) = 0^{2} - 3 \cdot 0 = 0$

Изобразим данную функцию на интервале $x \geq -1$ (см. вложение)

Пусть $x + 1 < 0$, то есть $x < -1$. Тогда $y = x^{2} + x + 1 - 2x + 1$

Имеем квадратичную функцию $y = x^{2} - x + 2$, графиком которой является парабола с ветвями, направленными вверх.

Найдем координаты точки вершины параболы:

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{1}{2}$

$y_{0} = \left(\dfrac{1}{2} \right)^{2} - \dfrac{1}{2} + 2 = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2}+2= \dfrac{7}{4}$

Найдем точки пересечения с осями координат:

1) с осью абсцисс:

$x^{2} - x + 2 = 0$

$D = (-1)^{2} - 4 \cdot 1 \cdot 2 < 0$

Значит, парабола не пересекает ось абсцисс. Возьмем дополнительные две точки:

Если $x = -1$, то $y(-1) = (-1)^{2} + 1 + 2 = 4$

Если $x = -2$, то $y(-2) = (-2)^{2} + 2 + 2 = 8$

2) с осью ординат:

$y(0) = 0^{2} - 0 + 2 = 2$

Изобразим данную функцию на интервале $x < -1$ (см. вложение).

Объединим полученные графики и получим график функции $y = x^{2} - |x + 1| - 2x + 1$ (см. вложение).