Question

Проведите полное исследование функции. План на фото $y=\frac{x^{4} }{x^{3}-1}$

Answer 1

Дана функция y=x^4/(x^3−1 )

Функция не является ни четной, ни нечетной.

Условия для точек разрыва :    x^3−1=0

Точка разрыва :    x1=1

Корни функции (точки пересечения с осью абсцисс x) :    x1=0

Вычисление y′ :    y′=(4x^3(x^3−1)−x^4(3x^2))/(x^3−1)^2=(x^6−4x^3)(x^3−1)^2=x^3(x^3−4)/(x−1)^2(x^2+x+1)^2

Первая производная :    y′=(x^3(x^3−4)/((x−1)^2(x^2+x+1)^2 ).

Условия для стационарных точек :    x^3(x^3−4)=0

Стационарные точки :    x1=4^(1/3), x2=0

Вторая производная :    y′′=6x2(x3+2)(x−1)3(x2+x+1)3

Условия для критических точек :    6x^2(x^3+2)=0

Критические точки :    x1=−2^(1/3) ≈ -2,16, x2=0  (но не точка перегиба).

Асимптота на обоих ±∞ линия y=x.