Question

26. Внутри клетчатого прямоугольника закрашено несколько клеток, образую-
щих квадрат. Оказалось, что закрашенные клетки есть в 20% строк и в 45%
столбцов. Из скольких клеток может состоять такой прямоугольник?
(А) 1800 (Б) 900 (В) 450 (0) 300 (Д) 100​

Answer 1

Пусть прямоугольник содержит $a$ строк и $b$ столбцов. Найдем его площадь:

$S=ab$

По смыслу задачи это искомое число клеток прямоугольника. Обозначим его буквой М, где $M\in\mathbb{N}$:

$M=ab$

Закрашенные ячейки содержат $0.2a$ строк и $0.45b$ столбцов. Найдем площадь закрашенной области:

$S_0=0.2a\cdot0.45b=0.09ab$

$S_0=0.09M$

Но закрашенная область - это квадрат. Найдем его сторону:

$a_0=\sqrt{S_0} =\sqrt{0.09M}=0.3\sqrt{M}$

Полученное число соответствует некоторому количеству клеток, а значит должно быть натуральным:

$0.3\sqrt{M}\in\mathbb{N}$

Кроме этого, число $0.3\sqrt{M}$ составляет 20 % и 45 % от натуральных чисел, выражающих количество строк и столбцов в исходном прямоугольнике. то есть:

$\left(0.3\sqrt{M}:0.2\right)\in\mathbb{N}$

$\left(0.3\sqrt{M}:0.45\right)\in\mathbb{N}$

Преобразуем числа:

$0.3\sqrt{M}:0.2=0.3\sqrt{M}:\dfrac{1}{5} =5\cdot0.3\sqrt{M}$

$0.3\sqrt{M}:0.45=\dfrac{3}{10} \sqrt{M}:\dfrac{9}{20} =\dfrac{3}{10} \cdot\dfrac{20}{9}\sqrt{M}=\dfrac{2}{3}\sqrt{M}$

Заметим, что первое условие выполняется при ранее поставленном условии $0.3\sqrt{M}\in\mathbb{N}$, поэтому его далее учитывать не будем.

Таким образом должно выполниться два условия:

$\begin{cases} 0.3\sqrt{M}\in\mathbb{N} \\ \dfrac{2}{3}\sqrt{M}\in\mathbb{N}\end{cases}$

Эти условия можно объединить в одно.

Если выполнятся условия $\begin{cases} 0.1\sqrt{M}\in\mathbb{N} \\ \dfrac{1}{3}\sqrt{M}\in\mathbb{N}\end{cases}$, то и предыдущие условия будут верны. А для проверки этих условий достаточно проверить, что $\dfrac{1}{30}\sqrt{M}\in\mathbb{N}$.

Варианты ответа 1800, 450, 300, очевидно, не подходят, потому что это не точные квадраты.

Проверяем вариант ответа 900:

$\dfrac{1}{30}\sqrt{900}=\dfrac{1}{30}\cdot30=1\in\mathbb{N}$

Проверяем вариант ответа 100:

$\dfrac{1}{30}\sqrt{100}=\dfrac{1}{30}\cdot10=\dfrac{1}{3} \notin\mathbb{N}$

Ответ: Б) 900