Question

Какая цифра встречается чаще других в числе $\underbrace{11\dots 11}_{222222222}* 4^{55555}$?

Answer 1

Ответ:

4

Пошаговое объяснение:

вспомним, что (aⁿ - bⁿ) делится на (а - b)

рассмотрим число 4⁵⁵⁵⁵⁵

найдем остаток при делении этого числа на 9:

4⁵⁵⁵⁵⁵ - 4 = 4(4⁵⁵⁵⁵⁴ - 1) = 4((4³)¹⁸⁵¹⁸ - 1) = 4(4³ - 1)*A = 4 * 63 * A делится на 9

значит, 4⁵⁵⁵⁵⁵ дает остаток 4 при делении на 9, а это в свою очередь означает, что число 4⁵⁵⁵⁵⁵/9 - бесконечная дробь, у которой после запятой бесконечно много четверок.

число 1111....1111 (222222222 раз) можно представить в виде (10²²²²²²²²² - 1)/9

значит, условие можно переписать в виде:

4⁵⁵⁵⁵⁵/9 * 10²²²²²²²²² - 4⁵⁵⁵⁵⁵/9

в первом слагаемом у нас не менее 222222222 четверок до запятой

во втором слагаемом не более 55555 знаков до запятой

т.е. отнимание повлияет не более чем на 55556 четверок

итого четверок останется не меньше, чем 222222222 - 55556 = 222166666

но всего в результате не более 222222222 + 55555 = 222277777 цифры

тогда количество остальных цифр не более 55556 + 55555 = 1111111, что явно меньше, чем количество четверок