Question

Найдите, при каких целых значениях переменной k числа 4k, 7k+1 ,k+15 будут последовательными членами геометрической прогрессии.

Answer 1

Ответ: 1

Объяснение:

Члены геометрической последовательности связаны следующим соотношением:

$b_n=b_{n-1}\cdot q$

Нам даны три последовательных члена, для определённости дадим им номера 1, 2, 3.

Выпишем взаимосвязь 1-ого и 2-ого и 2-ого и 3-его:

$b_2=b_{1}\cdot q;\quad\quad 7k+1=4k\cdot q\\\ \\ b_3=b_{2}\cdot q;\quad\quad k+15=(7k+1)\cdot q$

Чтобы три числа были членами последовательности, должны выполнять оба равенства. Составим систему уравнений:

$\left \{ {{7k+1=4k\cdot q} \atop {k+15=(7k+1)\cdot q}} \right.$

Поделим уравнения друг на друга (это действие можно выполнить, так как q ≠ 0, (7k + 1) ≠ 0, k + 15 ≠ 0):

$\frac{7k+1}{k+15}=\frac{4kq}{(7k+1)q}$

Сокращаем на q ≠ 0 и перемножаем дроби "крест-накрест" (знаменатели в ноль не обращаются, учтено выше).

$(7k+1)^2=4k(k+15)\\ 49k^2+14k+1=4k^2+60k\\ \\ 45k^2-46k+1=0\\ \\ D=(-46)^2-4\cdot45\cdot 1=4\cdot23^2-4\cdot45=4(529-45)=4\cdot484\\ \\ \sqrt{D}=\sqrt{4\cdot484}=\sqrt{2^2\cdot22^2}=2\cdot22=44\\ \\ k_1=\frac{46-44}{90}=\frac{2}{90}=\frac{1}{45} \\ \\ k_2=\frac{46+44}{90}=\frac{90}{90}=1$

k₁ не является целым, поэтому не подходит. Остаётся один ответ k = 1.