Question

Натуральные числа a и b ($a\leq b$) таковы, что для любых действительных чисел x и y, удовлетворяющих неравенству $a\leq x\leq y\leq b$, выполнено неравенство $a\leq \dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\leq b$. Найдите все такие пары чисел a и b.

Answer 1

Рассмотрим три случая:

1) a > 2. Тогда пусть x = y = a:

(x/y + y/x) = (a/a + a/a) = 2 < a  =>  противоречие.

2) a = 1. Тогда пусть x = a, y = b:

(x/y + y/x) = 1/b + b > b  =>  противоречие.

3) a = 2. Докажем, что в таком случае b может принимать любое значение (разумеется, кроме 1):

x/y + y/x = (x² + y²)/(xy)

x² + y² ≥ 2xy  =>  (x² + y²)/(xy) ≥ 2 = a (первое условие выполнено)

(x² + y²)/(xy) ≤ (x² + y²)/(2y) ≤ (y² + y²)/(2y) = y ≤ b (второе условие выполнено).

Ответ: a = 2; b ≠ 1.