Question

Помогите решить задачи!!
Даны точки А(2;-1), С (3;2) и D (-3;1). Найдите:
1) координаты векторов АС и АD
2) модули векторы АС и AD
3) Координаты векторов EF= 3*AC - 2*AD
4)Скалярное произведение векторов АС и AD
5) Косинус угла между векторами АС и АD

Answer 1

Теория:

Координаты вектора

Пусть даны точки X(x₁, x₂), Y(y₁, y₂), тогда

$\overrightarrow{XY}=(y_1-x_1;y_2-x_2)$

Длина вектора

Пусть дан вектор a{a₁, a₂}, тогда

$|\overrightarrow{a}|=\sqrt{ a_1^2+a_2^2}$

Скалярное произведение (по координатам)

Пусть даны векторы a{a₁, a₂} и b{b₁, b₂}, тогда

$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$

Угол между векторами

Пусть даны векторы a и b и ∠(a, b) = α, тогда

$cos\alpha =\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|}$

Умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов проводится покоординатно.

Решение:

$1)\\ \overrightarrow{AC}=(3-2;2-(-1))=(1;2+1)=(1;3)\\ \overrightarrow{AD}=(-3-2;1-(-1))=(-5;1+1)=(-5;2)\\ \\ 2)\\ |\overrightarrow{AC}|=\sqrt{ 1^2+3^2}=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}\\ |\overrightarrow{AD}|=\sqrt{ (-5)^2+2^2}=\sqrt{25+4}=\sqrt{29}\\ \\ 3)\\ 3\overrightarrow{AC}=(3\cdot1;3\cdot3)=(3;9)\\ 2\overrightarrow{AD}=(2\cdot(-5);2\cdot2)=(-10;4)\\ \overrightarrow{EF}=3\overrightarrow{AC}-2\overrightarrow{AD}=(3-(-10);9-4)=(13;5)$

$4)\quad \overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}=1\cdot(-5)+3\cdot2=-5+6=1\\ \\ 5)\quad cos\angle(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AD}) =\frac{\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{AD}}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{AD}|}=\frac{1}{\sqrt{10}\cdot\sqrt{29}}=\frac{1}{\sqrt{290}} =\frac{\sqrt{290}}{290}$