Question

x^4-8x^2-m=0 При каких значениях m, уравнение имеет 4 корня

Answer 1

Это биквадратное уравнение,

которое решают заменой переменной:

x²=t

Квадратное уравнение:

t²-8t-m=0

должно иметь два корня.

Значит дискриминант этого уравнения должен быть положительным.

D=(-8)²-4·(-m)=64+4m

D>0

64+4m>0⇒4m>-64⇒m>-16

Кроме того оба корня  t₁  и  t₂  должны быть положительными, чтобы при обратном переходе

уравнения  x²= t₁   и x²= t₂  имели каждое по два корня

По теореме Виета

t₁+t₂=8

t₁t₂=-m

сумма положительных t₁ и t₂  равна положительному числу 8

произведение положительных t₁ и t₂  равно  (-m)

Значит

(-m)>0⇒m < 0

Значениями m, которые удовлетворяют и первому и второму требованиям являются

m∈(-16;0)