Question

решить неопределенный интеграл

Answer 1

Замена переменной:

$\sqrt{\frac{x-1}{x+1} }=t\\\\ \frac{x-1}{x+1}=t^2\\\\x-1=t^2x+t^2\\\\x-t^2x=t^2+1\\\\x=\frac{t^2+1}{1-t^2} \\\\dx=(\frac{t^2+1}{1-t^2} )dt\\\\dx=\frac{2t(1-t^2)-(-2t)(1+t^2)}{(1-t^2)^2} dt\\\\dx=\frac{4t}{(1-t^2)^2}dt$

$\int x\sqrt{ \frac{x-1}{x+1} }dx=\int\frac{t^2+1}{1-t^2}\cdot t\cdot \frac{4t}{(1-t^2)^2} dt=4\int\frac{t^4+t^2}{(1-t)^3(1+t)^3}dt$

Подынтегральную дробь раскладываем на простейшие:

$\frac{t^4+t^2}{(1-t)^3(1+t)^3} =\frac{A}{1-t} +\frac{B}{(1-t)^2} +\frac{D}{(1-t)^3} +\frac{E}{1+t} +\frac{F}{(1+t)^2} +\frac{M}{(1+t)^3} \\\\t^4+t^2=A(1-t)^2(1+t)^3+B(1-t)(1+t)^3+D(1+t)^3+E(1+t)^2(1-t)^3+F(1+t)(1-t)^3+M(1-t)^3$

Два многочлена равны, если степени равны и коэффициенты при соответствующих степенях равны, для этого надо решить систему из шести уравнений.

Можно воспользоваться методом частных значений.

При t=1

2=8D⇒D=1/4

При t=-1

2=8M⇒M=1/4

При t=0

0=A+B+D+E+F+M⇒ A+B+E+F=-0,5

При t=2

20=27A-27B+27D-9E-3F-M⇒27A-27B-9E-3F=13,5

При t=-2...

При t=3...

...