Question

$10(x+\frac{1}{x} )-3(x^2+\frac{1}{x^2})=6$
Найти наибольшее решение

Answer 1

Введём замену: (x + (1/x)) = t.

t² = (x + (1/x))² = x² + 2x*(1/x)) + (1/x²) = x² + (1/x²) + 2.

Отсюда получаем x² + (1/x²) = t² - 2.

Исходное уравнение принимает вид 10t - 3(t² - 2) = 6 или

10t - 3t² + 6 = 6, откуда 10t - 3t²  = 0 или t(10 - 3t) = 0.

Получаем 2 корня этого уравнения: t₁ = 0  t₂ = 10/3

Первый корень не выдерживает проверку при обратной замене.

Принимаем (x + (1/x)) =10/3.

Так как (x + (1/x)) = (x² + 1)/x, то по свойству пропорции получаем

3(x² + 1) = 10x, откуда получаем квадратное уравнение

3x² - 10x + 3 = 0,   Д = 100 - 4*3*3 = 64.  

Ответ:

х1 = (10 - 8)/6 = 2/6 = 1/3.

х2 = (10 + 8)/6 = 3.