Question

1. Найти общее решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
А) xy'-y=0
Б)yy'+x=0
2. Найти частное решение дифференциального уравнения с разделяющимися переменными.
tg(x)*y'=1+y если x=П/6; y=-1/2
3.Найти решение однородного дифференциального уравнения первого порядка.
yy'=2y-x

Answer 1

$xy'=y=>\dfrac{dy}{y}=\dfrac{dx}{x}=>lny=lnCx=>y=Cx$

$yy'=-x=>2ydy=-2xdx=>y^2=C-x^2=>y=\pm \sqrt{C-x^2}$

$tgx*y'=1+y=>\dfrac{dy}{y+1}=\dfrac{cosxdx}{sinx}=>ln(y+1)=\int \dfrac{d(sinx)}{sinx}}=>ln(y+1)=ln(Csinx)=>y=Csinx-1\\ y(\dfrac{\pi}{6})=-\dfrac{1}{2}=>-\dfrac{1}{2}=Csin\dfrac{\pi}{6}-1=>\dfrac{1}{2}=C\dfrac{1}{2}=>C=1=>y=sinx-1$

$yy'=2y-x\\ \left[y=x*u(x)=>y'=\\ u+xu'\right]\\ xu(u+xu')=2xu-x\\ xu'=2-\dfrac{1}{u}-u\\ \int\dfrac{-udu}{(u-1)^2}=\int\dfrac{dx}{x}\\ -\int\dfrac{((u-1)+1)du}{(u-1)^2}=lnCx\\ \int\dfrac{du}{(u-1)}+\int\dfrac{du}{(u-1)^2}=-lnCx\\ ln(u-1)-\dfrac{1}{u-1}=-lnCx\\ ln(\dfrac{y}{x}-1)-\dfrac{x}{y-x}=-lnCx$