Question

Медіани BF і CN трикутника АВС дорівнює 27 см і 36 см відповідно,а кут між ними дорівнює 90градусів.Знайдіть медіану АР.

Answer 1

Всі три медіани перетинаються в одній точці і точкою перетину медіан трикутника кожна медіана ділиться у відношенні 2:1, рахуючи від вершини трикутника. Значить, $OF = 9$ см і $BO=18$ см; $ON=12$ см і $CO=24$ см.

З прямокутного трикутника FOC:

$FC=\sqrt{24^2+9^2}=\sqrt{657}$ см

З прямокутного трикутника COB:

$BC=\sqrt{24^2+18^2}=30$ см

З прямокутного трикутника NOB:

$NB=\sqrt{12^2+18^2}=\sqrt{468}$ см

Оскільки, BF, AP, CN - медіани, то $AC=2\sqrt{657}$ см і $AB=2\sqrt{468}$ см.

Добудуємо трикутник ABC до паралелограма ABDC. Сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі його всіх сторін.

$AD^2+BC^2=2(AB^2+AC^2)\\ \\ (2AP)^2+30^2=2\cdot (4\cdot 468+4\cdot 657)~~|:4\\ \\ AP^2+225=2\cdot 1125\\ \\ AP^2=2025\\ \\ AP=45~_{\sf cm}$

Відповідь: 45 см.