Question

1. Решить неравенства любым способом:
х2 – 7х – 8 < 0
3х2 - 4х + 7 ≥ 0
х2 – 2х – 3 > 0

Answer 1

1) x²−7x−8 < 0

$x^2-7x-8<0\\x^2-7x-8<0\\(x^2+x)+(-8x-8)<0\\x(x+1)-8(x+1)<0\\(x+1)(x-8)<0\\(x+1)(x-8)=0\\x=-1; x=8$

Определяем знаки на промежутках:

$\left[\begin{array}{ccc}x<-1&-1<x<8 &x>8\\+&-&+\end{array}\right]$

Интервал −1 < x < 8 — удовлетворяет неравенство

Точки выколотые, так как неравенство строгое, — их в ответ не вносим.

Ответ: x ∈ (−1; 8).

2) 3x²−4x+7 ≥ 0

$3x^2-4x+7\geq 0\\3x^2-4x+7=0\\D=16-84=-68 < 0$

корней нет

делим обе части неравенства на 3х²−4х+7, 3х²−4х+7>0:

$3x^2-4x+7\geq 0 | : 3x^2-4x+7\\1\geq 0$

Неравенство выполняется, значит х ∈ R.

Ответ: x ∈ (−∞; ∞).

3) x²−2x−3 > 0

$x^2-2x-3>0\\\left(x^2+x\right)+\left(-3x-3\right)>0\\x\left(x+1\right)-3\left(x+1\right)>0\\\left(x+1\right)\left(x-3\right)>0\\\left(x+1\right)\left(x-3\right)=0\\x=-1; x=3$

Определяем знаки на промежутках:

$\left[\begin{array}{ccc}x<-1&-1<x<3 &x>3\\+&-&+\end{array}\right]$

Интервалы x < −1 и x> 3 — удовлетворяют неравенство

Точки выколотые, так как неравенство строгое, — их в ответ не вносим.

Ответ: x ∈ (−∞; −1) ∪ (3; +∞).