Question

1. Определите количество действительных корней уравнения x^4+x^3+x^2+x+1=0. Если уравнение ни имеет решений, в ответ запишите число 0. Если уравнение имеет бесконечное множество решений, в ответ запишите число 100.

2.Выражение (x+2)^6 представили в виде многочлена стандартного вида (раскрыли скобки). Определите коэффициент перед x3.

3. Найдите значение выражения ((21^(x+4))⋅(25^(x+1))) / ((15^(x-1)) *(35^(x+3)))

Answer 1

1. Найдём минимальное значение функции, для этого возьмём производную.

$f(x) = x^4 + x^3 + x^2 + x + 1 = x^4 + 2x^2 + 1 + x^3 - x^2 = (x^2 + 1)^2 + x^2(x-1)$

Так как $(x^2+1)^2$ всегда положительна и $(x^2+1)^2 \geqslant x^2(x-1) \;(x^2 + 1 > x^2; \;x^2+1>x-1)$, следовательно ответ 100.

2. $(x+2)^6$

$x^3$ получится, когда мы с трёх скобок в качестве сомножителя возьмём x, а других 2.

$C_6^3\cdot8 = \frac{6!}{3!\cdot3!}\cdot8 = 160$

3. $\frac{21^{x+4}\cdot25^{x+1}}{15^{x-1}\cdot35^{x+3}} = \frac{3^4\cdot3^x\cdot7^4\cdot7^x5^x\cdot5^x\cdot5^2}{3^x\cdot3^{-1}5^x\cdot5^{-1}\cdot5^x\cdot5^3\cdot7^x\cdot7^3} = 3^5\cdot7$