Question

Найти радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда.(Помогитеее

​

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(x+1)^{2n}}{9}=\sum\limits_{n=1}^\infty a_n$

$\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{(x+1)^{2n}}{9}}=(x+1)^2$

Ряд сходится при $(x+1)^2<1=>|x+1|<1$ и при $(x+1)^2>1$ расходится по признаку Коши.

Тогда радиус сходимости равен 1, а интервал получим из неравенства $|x+1|<1=>x\in(-2;0)$

Ответ: 1; (-2;0)

____________________________

2 способ

Степенной ряд имеет вид $\sum\limits_{n=1}^\infty \dfrac{(x+1)^{2n}}{9}=0*(x+1)^1+\dfrac{1}{9}(x+1)^2+0*(x+1)^3+\dfrac{1}{9}(x+1)^4+...$

Тогда последовательность коэффициентов степенного ряда разбивается на 2 подпоследовательности: $c_k=0,\; k=2n-1; c_k=\dfrac{1}{9},\; k=2n$

Тогда используем формулу Коши-Адамара:

$\dfrac{1}{R}=\overline{\lim\limits_{k\to\infty}}\sqrt[n]{|c_k|}=\max\{0, \lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[2n]{\dfrac{1}{9}}\}=1=>R=1=>x\in(-2;0)$