Question

Интересное логарифмическое неравенство.

Answer 1

Ответ: во вложении Объяснение:

Answer 2

$log_{log_{\frac{1}{2}}x}(log_{\frac{1}{7}}x)>0\; \; ,\; \; ODZ:\; \left\{\begin{array}{l}x>0\\log_{1/7}x>0\\log_{1/2}x>0\\log_{1/2}x\ne 1\end{array}\right\; \; \left\{\begin{array}{ccc}x>0\\x<1\\x<1\\x\ne \frac{1}{2}\end{array}\right\; \; \Rightarrow \\\\x\in (\; 0\; ;\; \frac{1}{2})\cup (\; \frac{1}{2}\, ;\; 1\; )$

Метод рационализации. Заменяем  $log_{h(x)}f(x)>0$  на  произведение

$(\, f(x)-1)(\, h(x)-1)>0$  .

$(log_{1/2}x-1)(log_{1/7}x-1)>0$

$a)\; \; \left\{\begin{array}{l}log_{1/2}x-1>0\\log_{1/7}x-1>0\end{array}\right\; \; \; ili\; \; \; b)\; \; \left\{\begin{array}{lll}log_{1/2}x-1<0\\log_{1/7}x-1<0}\end{array}\right\\\\\\a)\; \; \left\{\begin{array}{lll}log_{1/2}x>1\\log_{1/7}x>1\end{array}\right\; \; \; ili\; \; \; \; \; \; b)\; \; \left\{\begin{array}{lll}log_{1/2}x<1\\log_{1/7}x<1\end{array}\right$

Основания логарифмов меньше 1, поэтому логарифмы - убывающие функции,  значит  

$a)\; \; \left\{\begin{array}{lll}x<\frac{1}{2}\\x<\frac{1}{7}\end{array}\right\; \; \; ili\; \; \; \; \; b)\; \; \left\{\begin{array}{lll}x>\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{7}\end{array}\right\\\\\\a)\; \; \; \; 0<x<\frac{1}{7}\; \; \; ili\; \; \; \; b)\qquad x>\frac{1}{2}\; \; \to \; \; x\in (\, \frac{1}{2}\, ;+\infty )$

Учитывая ОДЗ имеем  

$\left\{\begin{array}{lll}x\in (\, 0;\frac{1}{2}\, )\cup (\, \frac{1}{2}\, ;\, 1\, )\\x\in (\, 0\, ;\, \frac{1}{7}\, )\cup (\, \frac{1}{2}\, ;+\infty )\end{array}\right\; \; \; \Rightarrow \; \; \; x\in (\, 0\, ;\frac{1}{7})\cup (\, \frac{1}{2}\, ;\; 1\, )\\\\\\Otvet:\; \; x\in (\, 0\, ;\frac{1}{7})\cup (\, \frac{1}{2}\, ;\; 1\, )\; .$

2 способ.  Рассмотрим , когда основание логарифмической функции больше 1 , и когда оно находится в пределах от 0 до 1 . Соответственно этому запишем пределы изменения аргумента логарифма.

$a)\left\{\begin{array}{l}log_{1/2}x>1\\log_{1/7}x>1\end{array}\right\; \; \; ili\; \; \; \; b)\; \; \left\{\begin{array}{l}0<log_{1/2}x<1\\log_{1/7}<1\end{array}\right\\\\\\\left\{\begin{array}{l}0<x<\frac{1}{2}\\x<\frac{1}{7}\end{array}\right\qquad \; \; ili\; \; \; \; \; \; \left\{\begin{array}{l}x>\frac{1}{2}\\x>\frac{1}{7}\end{array}\right\\\\\\x\in (\, 0\, ;\, \frac{1}{7}\, )\; \quad \qquad ili\qquad \quad x\in (\, \frac{1}{2}\, ;+\infty )$

С учётом ОДЗ, получим тот же ответ:  $x\in (\, 0\, ;\, \frac{1}{7}\, )\cup (\, \frac{1}{2}\, ;\, 1\; )\; .$