Question

Доведіть, що для будь-якого натурального значення n значення виразу 4^n+15n-1 кратне 9.

Answer 1

Доведемо методом математичної індукції.

1) Базис індукції: n = 1: $4+15-1=18~ \vdots~ 9$

2) Припустимо, що і при $n=k$ вираз $\Big(4^k+15k-1\Big)~\vdots~ 9$

3) Індукційний перехід: n = k+1

$4^{k+1}+15(k+1)-1=4\cdot \Big(4^k+15k-1\Big)-9\cdot\Big(5k-2\Big)$

Перший доданок ділиться на 9 (за припущенням пункту 2), ну а другий, очевидно, що ділиться на 9, оскільки є множник 9. Отже, вираз $\Big(4^n+15n-1\Big)$ кратно 9 для натуральних $n$