Question

при якому значенні х коефіціент 4 члена розкладу бінома (a+b)^(x^2-5x+17) у 15 разів більше за показник бінома

Answer 1

$(a+b)^{x^2-5x+17}=\displaystyle \sum^{n=x^2-5x+17}_{k=0}C^k_{x^2-5x+17}a^{x^2-5x+17-k}b^{k}$

Коефіцієнт четвертого члена розкладу бінома буде при $k=3$

$C^3_{x^2-5x+17}=\dfrac{(x^2-5x+17)!}{(x^2-5x+14)!3!}=\dfrac{(x^2-5x+15)(x^2-5x+16)(x^2-5x+17)}{6}$

За умовою він у 15 разів більше за показник бінома, тобто

$\dfrac{(x^2-5x+15)(x^2-5x+16)(x^2-5x+17)}{6}=15(x^2-5x+17)$

Нехай $x^2-5x+17=t$, отримаємо

$\dfrac{(t-2)(t-1)t}{6}=15t\\ \\ t\Big(t^2-3t+2-80\Big)=0\\ \\ t\Big(t^2-3t-78\Big)=0\\ \\ t_1=0;~~~ t^2-3t-78=0\\~~~~~~~~~~~~D=(-3)^2-4\cdot 1\cdot (-78)=321;~~~\sqrt{D}=\sqrt{321}$

Значення дискрімінанта квадратного рівняння D = 321, але з під кореня $\sqrt{D}$ винести ніяк, тому корені $t_1,t_2$ будуть не цілими, а $x$ - ціле.

$x^2-5x+17=0\\ D=25-4\cdot 17<0$ - квадратне рівняння дійсних коренів не має.

Відповідь: немає такого значення х.