Question

Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 6√3 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60º.
• найдите боковое ребро пирамиды.
• найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Подробно

Answer 1

Поскольку четырехугольная пирамида правильная, то в её основании служит квадрат. По условию, $SO=6\sqrt{3}$ см и $\angle ODS=60^\circ$.

Найдём боковое ребро пирамиды из прямоугольного треугольника $SOD$, т.е. $\sin \angle 60^\circ =\dfrac{SO}{SD}~~\Rightarrow~~ SD=\dfrac{6\sqrt{3}}{\dfrac{\sqrt{3}}{2}}=12~_{\sf cm}$

$\angle OSD=90^\circ -\angle ODS=30^\circ$ . Против угла 30° катет в два раза меньше гипотенузы, т.е. $OD=\dfrac{SD}{2}=6$ см. Тогда $BD=2OD=12$ см.

$AD=\dfrac{BD}{\sqrt{2}}=\dfrac{12}{\sqrt{2}}=6\sqrt{2}$ см

OE - радиус вписанной окружности: OE = AD/2 = 3√2 см.

Найдем апофему SE: $SE=\sqrt{9\cdot 2+36\cdot 3}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}$ см.

$S_{bok}=\dfrac{1}{2}P_o\cdot SE=\dfrac{1}{2}\cdot 4\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{14}=72\sqrt{7}$ см²