Question

Найти частное решение(частный интеграл) д.у. (2x+y)dy=ydx+4lnydy, y(0)=1 (Ответ:x=2lny+1-y). Прошу вас от чистого серда ответить быстро и развернуто. Заранее благодарю.

Answer 1

$(2x+y-4\ln y)dy-ydx=0$

Уравнение $M(x;y)dx+N(x;y)dy=0$ есть уравнением в полных дифференциалах тогда, когда выполнено равенство $M'_y(x;y)=N'(x;y)$. Данное уравнение имеет интегрирующий множитель $\mu (y)$,т.е.

$\mu (y)M(x;y)+\mu (y)N(x;y)y'=0\\ -y\cdot \dfrac{\mu(y)}{dy}-\mu(y)=2\mu(y)\\ \\ \mu (y)=\displaystyle \int -\dfrac{3}{y}dy=\dfrac{1}{y^3}$

Умножив обе части уравнения на интегрирующий множитель, получим, что данное диф. уравнение будет в полных дифференциалах. Легко проверить: $M'_y(x;y)=\dfrac{2}{y^3}=N'_x(x;y)$

Если функция $F(x;y)$ удовлетворяет $F'_x(x;y)=M(x;y)$ и $F'_y(x;y)=N(x;y)$ , то решение $F(x;y)=C$, где $C\in \mathbb{R}$.

Интегрируя функцию F по х, получим

$F(x;y)=\displaystyle \int M(x;y)dx=\int -\dfrac{dx}{y^2}=-\dfrac{x}{y^2}+C(y)$

Дифференцируя по у, получим $F'_y(x;y)=\dfrac{2x}{y^3}+C'(y)$

Мы имеем $F'_y(x;y)=N(x;y)=-\dfrac{4\ln y-y-2x}{y^3}$ отсюда $C'(y)=-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}$ получаем $C(y)=\displaystyle \int \left(-\dfrac{4\ln y-y}{y^3}\right)dy=-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}$

Общий интеграл: $-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=C$

Подставив начальные условия, мы получим

-1 - 1 = C

C = -2

$\boxed{-4\cdot \left(-\dfrac{\ln y}{2y^2}-\dfrac{1}{4y^2}\right)-\dfrac{1}{y}-\dfrac{x}{y^2}=-2~~~\Rightarrow~~~ x=2\ln y+1-y}$