Question

В треугольнике все углы различны, а их сумма в 4 раза больше самого маленького из углов треугольника. Тогда этот треугольник обязательно:
А) остроугольный
Б) прямоугольный
В) тупоугольный
Г) равнобедренный
Д) равносторонний

Answer 1

Сумма углов треугольника равна 180°.

Значит, самый маленький угол равен 180°:4=45°.

Предположим, что этот треугольник прямоугольный. Тогда второй угол равен 90°, соответственно третий угол равен 180°-45°-90°=45°. Значит, первый угол не самый маленький , поскольку нашелся еще один такой же угол. Противоречие.

Предположим, что этот треугольник тупоугольный. Аналогично, второй угол больше 90°, соответственно третий угол меньше 180°-45°-90°=45°. Значит, первый угол тем более не самый маленький , поскольку нашелся меньший угол. Противоречие.

Такой треугольник не обязательно будет равнобедренным. Ситуация, когда угол при основании равнялся бы 45° не реализуема и уже рассмотрена в предположении про прямоугольный треугольник. Ситуация же, когда 45° - это угол, противолежащий основанию, а соответственно углы при основании равны (180°-45°):2=67.5° возможна, но ничем в условии не гарантируется.

Очевидно, треугольник с углом 45° не равносторонний.

Поскольку мы доказали, что это треугольник не прямоугольный и не тупоугольный, то он остроугольный.

Ответ: остроугольный