Question

Сколько натуральных чисел из интервала (100;20000) можно представить в виде $HOK(k,m)+HOK(m,n)+HOK(n,k);\;m,n,k\in N$?

Answer 1

Если я верно понимаю, что интервал (100; 20000) включает в себя все числа между 100 и 20000, но исключая концы, то:

Ответ: 19891.

(НОК(a, b) = [a, b] (в моём случае - [a; b]))

Пусть в требуемом виде нужно представить число i = 2^t * (2p + 1):

а) p > 0. Тогда возьмём следующие числа: k = p * 2^t; n = m = 2^t.

[p * 2^t ; 2^t] + [p * 2^t ; 2^t] + [2^t ; 2^t] = p * 2^t + p * 2^t + 2^t = 2^t * (2p + 1)

Значит, при p > 0 представление существует.

б) p = 0. Докажем, что в таком случае решения не существует. Пусть k = 2^a * k' ; m = 2^b * m' ; n = 2^c * n'. Тогда k', m', n' не могут иметь общих множителей (иначе бы этот множитель присутствовал во всех трёх слагаемых, но отсутствовал бы в правой части (этот множитель - не 2, так как иначе увеличим показатели степеней)). Пусть a ≥ b ≥ c (иначе переобозначим), тогда:

[2^a * k' ; 2^b * m'] + [2^b * m' ; 2^c * n'] + [2^c * n'; 2^a * k'] = 2^t

2^a * k' * m' + 2^a * n' * k' + 2^b * m' * n' = 2^t

2^b * (2^(a-b) * k' * m' + 2^(a-b) * k' * n' + m' * n') = 2^t

2^(a-b) * k' * m' + 2^(a-b) * k' * n' + m' * n' = 2^(t - b)

Далее возможны две ситуации:

1) a = b, тогда слева три нечётных числа, а справа либо чётное число, либо 1.

2) a > b, тогда слева два чётных числа и одно нечётное, а справа либо чётное число, либо 1.

Значит, при p = 0 решений нет.

Осталось заметить, что в промежутке от 100 до 20000 всего 8 степеней двойки.