Question

При яких значеннях параметра a рівняння x^3-13x^2+ax-27=0 має три дійсних корені, як утворюють геометричну прогресію?

Answer 1

Нехай $\{b_n\}$ - послідовність геометричної прогресії з першим членом $b_1$ і знаменником прогресії $q$. Знаючи, що корені рівняння $x^3-13x^2+ax-27=0$ утворюють геометричну прогресію, то ліву частину рівняння можна представити у наступному вигляді:

$x^3-13x^2+ax-27=(x-b_1)(x-b_1q)(x-b_1q^2)=x^3-b_1q^2x^2-b_1qx^2+\\ \\ +b_1^2q^3x-x^2b_1+b_1q^2x+b_1^2qx-b_1^3q^3=x^3-x^2b_1(q^2+q+1)+\\ \\ +b_1^2q(q^2+q+1)x-b_1^3q^3$

Прирівнюючи коефіцієнти при степені $x$, отримаємо

$\begin{cases} & \text{ } b_1(q^2+q+1)=13 \\ & \text{ } b_1^2q(q^2+q+1)=a \\ & \text{ } b_1^3q^3=27 \end{cases}~~\Rightarrow~\begin{cases} & \text{ } b_1(q^2+q+1)=13 \\ & \text{ } 13b_1q=a \\ & \text{ } b_1q=3 \end{cases}~\Rightarrow~ a=13\cdot 3=39$

Відповідь: 39.