Question

В треугольник вписана окружность радиуса 4 см. Найдите длины сторон треугольника, если одна из них разделена точкой касания на отрезки длиной 4 см и 5 см.

Answer 1

По свойству касательных: $BF=BE=4$ и $FC=CD=5$. Пусть $AE=AD=x$. Имеем $AB=x+4;~~ BC=9;~~ AC=x+5$

Площадь треугольника: $S=pr=\dfrac{x+4+9+x+5}{2}\cdot 4=36+4x$ с другой стороны $S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(x+9)\cdot 5\cdot x\cdot 4}$

Приравнивая площадь, мы решим уравнение относительно x

$36+4x=2\sqrt{5x(x+9)}\\ \\ 2(x+9)=\sqrt{5x(x+9)}\\ \\ \sqrt{x+9}\cdot \Big(2\sqrt{x+9}-\sqrt{5x}\Big)=0\\ \\ x_1=-9$

Этот корень не удовлетворяет условию.

$2\sqrt{x+9}-\sqrt{5x}=0\\ \\ 2\sqrt{x+9}=\sqrt{5x}\\ \\ 4(x+9)=5x\\ \\ 4x+36=5x\\ \\ x=36$

Таким образом, длины сторон треугольника: 40 см, 9 см и 41 см.

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

тр. АВС,  О- центр вписанной окружности, ( радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен этой прямой), проведем ОК _I_ АВ,  ОК=R=4,  АК=4, КВ=5,  АВ=4+5=9,  из т. О проведем _I_ ОР на сторону АС,  ОР=R=4,

АК=АР=4(по теор. о касательных к окружности),  тогда АКОР-квадрат и

тр-кАВС прямоуг-й,  из т. О проведем ОМ _I_  ВС,  ОМ=R,  М-точка касания,  ВК=ВМ=5,  СР=СМ=х,  ВС=5+х,  АС=4+х,  по теор. Пифагора  ВС^2=AB^2+AC^2,   (5+x)^2=81+(4+x)^2,   25+10x+x^2=81+16+8x+x^2,

2x=72,  x=36,    ВС=5+36=41,  АС=4+36=40,  отв. 9,40,41