Question

Найти указанный предел, используя правило Лопиталя:
$\lim_{x \to a} \dfrac{\cos x \ * \ \ln (x-a)}{\ln(e^{x}-e^{a})}$

Answer 1

$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{\cos(x)\ln(x-a)}{\ln(e^x-e^a)}=\lim\limits_{x\rightarrow a}\cos(x)\times\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{\ln(x-a)}{\ln(e^x-e^a)}=\cos(a)\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{\frac{d}{dx}(\ln(x-a))}{\frac{d}{dx}(\ln(e^x-e^a))}=\cos(a)\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{1/(x-a)}{e^x/(e^x-e^a)}=\cos(a)\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{e^x-e^a}{e^x(x-a)}=\cos(a)*e^{-a}\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{e^x-e^a}{x-a}=\Big\{\dfrac{0}{0}\Big\}=$

$=\cos(a)e^{-a}\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{\frac{d}{dx}(e^x-e^a)}{\frac{d}{dx}(x-a)}=\cos(a)e^{-a}\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{e^x}{1}=\cos(a)\dfrac{e^a}{e^a}=\cos(a)$

Answer 2

Ответ: во вложении Пошаговое объяснение:

У нас неопределенность вида ∞/∞, поэтому можем применять правило Лопиталя, а именно дифференцировать числитель и знаменатель, пока не избавимся от неопределенности.