Question

Дифференциальное уравнение

Answer 1

$(y+e^{x}\, siny)dx+(x+e^{x}\, cosy)dy=0$

Проверим, является ли это ДУ уравнением в полных дифференциалах:

$P=y+e^{x}\, siny\; \; ,\; \; Q=x+e^{x}\, cosy\\\\\frac{\partial P}{\partial y}=(y+e^{x}\, siny)'_{y}=1+e^{x}\, cosy\\\\\frac{\partial Q}{\partial x}=(x+e^{x}\, cosy)'_{y}=1+e^{x}\, cosy\\\\\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}\; \; \Rightarrow$

Заданное ДУ является уравнением в полных дифференциалах и имеет вид:   $\frac{\partial F}{\partial x}\, dx+\frac{\partial F}{\partial y}=0$  .

$1)\; \; \frac{\partial F}{\partial x}=y+e^{x}\, siny\; \; ,\; \; \; \underline {\frac{\partial F}{\partial y}=x+e^{x}\, cosy}\\\\F=\int \frac{\partial F}{\partial x}\cdot dx=\int (y+e^{x}\, siny)\, dx=yx+e^{x}\, siny+\underbrace {\varphi (y)}_{const}\\\\2)\; \; \frac{\partial F}{\partial y}=(yx+e^{x}\, siny+\varphi (y))'_{y}=x+e^{x}\, cosy+\varphi '(y)\\\\x+e^{x}\, cosy+\varphi '(y)=\underline {x+e^{x}\, cosy}\; \; \; \Rightarrow \; \; \; \varphi '(y)=0\; \; ,\; \; \varphi (y)=C\; \; (C=const)$

$F=xy+e^{x}\, siny+C$

Oтвет:  общий интеграл   $xy+e^{x}\, siny+C=0\; .$