Question

4)Исследовать сходимость числового ряда
5)Найти интервал сходимости степенного ряда

Answer 1

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2n+1)^3-1}\leq \sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{(2n)^3}=\dfrac{1}{8}\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^3}$

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{1}{n^3}$ сходится как частный случай обобщенного гармонического ряда с  $l=3>1$. Тогда исходный ряд сходится по признаку сравнения

____________________________________________________________

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{(2n)!}{n^n}x^n\\\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{(2n)!}{n^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{\sqrt{4\pi n}(\frac{2n}{e})^{2n}}{n^n}}=\dfrac{2^2}{e^2}\lim\limits_{n\to\infty}n=\infty=>R=0$

А значит ряд сходится при $x=0$

-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_-_

Условие можно интерпретировать иначе:

$\sum\limits_{n=1}^\infty\dfrac{2*n!}{n^n}x^n\\\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2*n!}{n^n}}=\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{\dfrac{2\sqrt{2\pi n}(\frac{n}{e})^{n}}{n^n}}=\dfrac{1}{e}=>R=e=>x\in(-e;e)$

Ответ: $(-e;e)$