Question

Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 9, а боковое ребро равно 6. найдите угол между боковым ребром пирамиды и плоскостью её основания. ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ: 30°

Объяснение:

1. Проведём из точки S высоту пирамиды SO. Точка O -- это центр ΔABC, лежит на пересечении медиан (так как ABCS -- правильная)

2. SB -- наклонная, SO ⊥ (ABC) ⇒ BO -- проекция SB на (ABC)

3. Так как BO -- проекция SB на (ABC), ∠(SB, (ABC)) = ∠(SB, BO) = ∠SBO -- искомый (по определению угла между прямой и плоскостью)

4. Рассмотрим ΔABC.

BB₁ -- медиана ⇒ СB₁ = 1/2 AC = 9/2

Так как ΔABC -- равносторонний, то

$BB_1=\frac{AC\sqrt{3}}{2}=\frac{9\sqrt{3}}{2}$

(можно найти и по теореме Пифагора из ΔBB₁C, т.к. BB₁ - высота)

Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2 : 1, считая от вершины. Тогда

$BO=\frac{2}{3}BB_1=\frac{2}{3}\cdot \frac{9\sqrt{3}}{2}=3\sqrt{3}$

5. Рассмотрим ΔBSO:

$cos\angle SBO=\frac{BO}{SB}=\frac{3\sqrt{3}}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2} \quad \Rightarrow\quad \angle SBO=arccos\frac{\sqrt{3}}{2}=30^{\circ}$

Answer 2

Ответ: во вложении Объяснение: