Question

В треугольнике ABC проведены биссектрисы двух.внешних углов B и C. Докажите, что они пересекаются под углом 90 градусов минус половина угла

Answer 1

Пусть $\sf \angle BCA=\alpha$ и $\angle ABC=\beta$. Тогда $\angle ECB=180^\circ-\alpha$ и $\angle DBC=180^\circ -\beta$. Поскольку $CF$ - биссектриса угла $ECB$, то $\angle ECF=\angle BCF=90^\circ -\dfrac{\alpha}{2}$. Аналогично, $BF$ - биссектриса угла $DBA$, то $\angle DBF=\angle CBF=90^\circ -\dfrac{\beta}{2}$.

Известно, что сумма углов треугольника равна 180°

$\angle BAC+\alpha+\beta=180^\circ\\ \\ 180^\circ-\angle BAC=\alpha+\beta$

$\angle CFB=180^\circ -\Big(90^\circ -\dfrac{\alpha}{2}+90^\circ -\dfrac{\beta}{2}\Big)=\dfrac{\alpha+\beta}{2}=90^\circ -\dfrac{\angle BAC}{2}$