Question

на диагонали BD параллелограмма ABCD отмечена точка K прямая AK пересекает прямые BC и CD в точках L и M при этом LK=9, KM=4 Найдите AK

Answer 1

Треугольники $AMD$ и $CML$ подобны по двум углам ($\angle AMD=\angle CML$ как вертикальные; $\angle DAM=\angle ALC$ как накрест лежащие при $BL\parallel AD$ и секущей $AL$). Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон

$\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{ML}{CM}~~\Leftrightarrow~~\dfrac{AK+4}{MD}=\dfrac{5}{CM}~~~\Rightarrow~~~ AK=\dfrac{5MD}{CM}-4$

Из подобия треугольников $ABK$ и $KMD$ имеем

$\dfrac{AB}{AK}=\dfrac{MD}{KM}~~\Rightarrow~~~\dfrac{CM+MD}{AK}=\dfrac{MD}{4}~~\Rightarrow~~~\dfrac{1}{AK}+\dfrac{MD}{AK\cdot CM}=\dfrac{MD}{4CM}$

$\dfrac{1}{AK}\cdot \left(1+\dfrac{AK+4}{5}\right)=\dfrac{1}{4}\cdot \dfrac{AK+4}{5}~~~\bigg|\cdot 20AK\\ \\ 20+4AK+16=AK^2+4AK\\ \\ AK^2=36\\ \\ AK=6$

Ответ: 6.