Question

ДАЮ 50 баллов!! Геометрия, 7 класс. Мерзляк, Полонский Якир. Номер 404. Треугольник ABC равнобедренный с основанием AC. На стороне BC отметили точку M так, что BM=AM=AC. Найдите углы треугольника ABC.

Answer 1

Чертеж приложен.

Рассмотрим треугольник AMC - по условию он равнобедренный, AM = AC. Соответственно, ∠С =  ∠СMA.

Рассмотрим треугольник AMB - он тоже равнобедренный (AM = BM). Соответственно,  ∠B= ∠BAM, откуда  ∠BMA = 180° - 2 ∠B.

Углы  ∠CMA и  ∠BMA  - смежные, а значит их сумма равна 180°:

∠C + 180° - 2∠B = 180° ⇒  ∠C = 2∠B.

По условию треугольник АВС - равнобедренный, AB = BC, а значит  ∠A =  ∠C = 2∠B.

Сумма углов любого треугольника равна 180°:

∠A + ∠B + ∠C = 180°.

В итоге имеем линейное уравнение относительно  ∠B:

2∠B + ∠B + 2∠B = 180°;

5 ∠B = 180°⇒ ∠B = 36°.

Тогда ∠А = ∠С = 2 ·  36° = 72°.

ОТВЕТ: ∠A = ∠C = 72°, ∠B = 36°.