Question

50 баллов!!1 Решить тригонометрическое уравнение:
$\tan(x) + \sqrt{ \sin(x) } = 0$
​

Answer 1

$\text{tg} \, x + \sqrt{\sin x} = 0$

$\dfrac{\sin x}{\cos x} = -\sqrt{\sin x}$

ОДЗ: $\displaystyle \left \{ {{\cos x \neq 0} \atop {\sin x \geq 0}} \right. \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \displaystyle \left \{ {{x \neq \dfrac{\pi}{2} + \pi n, \ n \in Z \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ } \atop {x \in \left[2\pi n; \ \pi + 2\pi n \right], \ n \in Z}} \right.$

Следовательно, $x \in \left[2\pi n; \ \dfrac{\pi}{2} + 2\pi n \right) \cup \left(\dfrac{\pi}{2} + 2\pi n; \ \pi + 2\pi n \right], \ n \in Z$

$\left(\dfrac{\sin x}{\cos x}\right)^{2} = \left(-\sqrt{\sin x}\right)^{2}$

$\dfrac{\sin^{2} x}{\cos^{2} x} = \sin x$

$\sin^{2}x = \sin x \cos^{2}x$

$\sin^{2}x = \sin x (1 - \sin^{2}x)$

$\sin^{2}x = \sin x - \sin^{3}x$

$\sin^{3}x + \sin^{2}x - \sin x=0$

$\sin x(\sin^{2}x + \sin x - 1)=0$

$\left[\begin{array}{ccc}\sin x = 0 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ \sin^{2}x + \sin x - 1=0\\\end{array}\right$

Решим оба уравнения:

$1) \ \sin x = 0\\x = \pi n, \ n \in Z$

$2) \ \sin^{2}x + \sin x - 1 = 0$

Сделаем соответствующую замену: $\sin x = t, \ t \in [-1; \ 1]$

$t^{2}+ t - 1 = 0$

$D = 1^{2} - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 1 + 4 = 5$

$t_{1} = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

$t_{2} = \dfrac{-1 - \sqrt{5}}{2} < -1$ — посторонний корень

Обратная замена:

$\sin x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}$

Поскольку $\sin \alpha = \sin (\pi - \alpha )$, то:

$\left[\begin{array}{ccc}\sin x = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} \ \ \ \ \ \ \ \\\sin (\pi - x) = \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2}\\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc} x = \arcsin\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 2\pi k, \ k \in Z \ \ \ \ \ \ \\\pi - x = \arcsin \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 2\pi k, \ k \in Z \\\end{array}\right$

$\left[\begin{array}{ccc} x = \arcsin\dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} + 2\pi k, \ k \in Z \ \ \ \ \ \ \ \ \\\ x = -\arcsin \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \pi + 2\pi k, \ k \in Z \\\end{array}\right$

Первый корень не обращает в правильное равенство уравнение $\text{tg} \, x + \sqrt{\sin x} = 0$, значит, подойдет только один корень: $x = -\arcsin \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \pi + 2\pi k, \ k \in Z$

Ответ: $\pi n; \ -\arcsin \dfrac{-1 + \sqrt{5}}{2} + \pi + 2\pi k; \ n, k \in Z$