Question

В треугольнике MFP вершины имеют следующие координаты: М(0; 0; 0), F(2; -1; 3),
P(-1; 1; 1). Найдите диаметр окружности, описанной вокруг этого треугольника.​

Answer 1

Ответ: √17

Объяснение:

1. Найдём стороны треугольника MFP (длины векторов).

Формула:

$|\overrightarrow{XY}| =\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2+(z_1-z_2)^2)},$

где

$X(x_1,y_1,z_1),\quad Y(x_2,y_2,z_2).$

Решение:

$FM=|\overrightarrow{FM}| =\sqrt{(2-0)^2+(-1-0)^2+(3-0)^2)}=\sqrt{2^2+(-1)^2+3^2}=\sqrt{14} \\ \\PM=|\overrightarrow{PM}| =\sqrt{(-1-0)^2+(1-0)^2+(1-0)^2)}=\sqrt{(-1)^2+1^2+1^2}=\sqrt{3} \\ \\FP=|\overrightarrow{FP}| =\sqrt{(2+1)^2+(-1-1)^2+(3-1)^2)}=\sqrt{3^2+(-2)^2+2^2}=\sqrt{17}$

2. Определение вида треугольника.

Проверим теорему Пифагора для треугольника MFP (наибольшая сторона FP предположительно гипотенуза):

$FP^2=FM^2+PM^2\\ \\ (\sqrt{17})^2=(\sqrt{14})^2+(\sqrt{3})^2\\ \\ 17=14+3\\ 17=17$

Равенство верное ⇒ треугольник MFP прямоугольный.

3. Нахождение диаметра описанной окружности.

Так как треугольник MFP прямоугольный, то центр описанной окружности будет лежать на середине гипотенузы, а радиус равен её половине, то есть

$R=\frac{1}{2}FP$

Диаметр равен удвоенному радиусу, откуда:

$D=2R=2\cdot \frac{1}{2}FP=FP=\sqrt{17}$