Question

Ребро куба ABCDA ,B,C,D, равно 6 см. Через диагональ основания BD под углом 45° к
плоскости основания проведена плоскость BDK, пересекающая боковое ребро в точке К.
Найдите площадь треугольника BDK.
​

Answer 1

Ответ: 18√2 см²

Объяснение:

Точка K не может лежать на ребрах BB₁ или DD₁, так как тогда (BDK) ⊥ (ABC), что противоречит условию.

Значит точка K лежит либо на AA₁, либо на CC₁.

Случаи будут одинаковые (в силу симметричности куба), поэтому для определённости точка K будет лежать на ребре AA₁.

1. Поиск угла между плоскостями (BDK) и (ABC).

1) (BDK) ∩ (ABC) по прямой BD ⇒ BD - ребро.

2) Пусть AC ∩ BD в точке O. Тогда BD ⊥ AC (диагонали куба).

3) Рассмотрим ΔABK и ΔAKD:

AB = AD (стороны квадрата),

KA -- общая,

∠KAB = ∠KAD (углы квадратов прямые).

Следовательно, ΔABK = ΔAKD по двум катетам.

Из равенства треугольников следует, что KB = KD  ⇒  ΔKBD -- равнобедренный.

4) Проведём KO. Так как BO = OD (свойство диагоналей квадрата), то KO -- медиана.

ΔKBD -- р/б, KO -- медиана, проведённая к основанию ⇒ KO -- высота, откуда KO ⊥ BD.

5) BD - ребро; AC ⊥ BD, AC ⊂ (ABC); KO ⊥ BD, KO ∈ (BDK) ⇒ угол между плоскостями (ABC) и (BDK) равен углу между KO и AC или ∠KOA:

По условию этот угол равен 45°.

2. Нахождение площади искомого треугольника.

1) BD -- диагональ квадрата ⇒ BD = AB√2 = 6√2 см (можно найти также по теореме Пифагора из ΔABD).

AC = BD, 2AO = AC (свойство диагоналей), откуда

$AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2}=3\sqrt{2}\; cm.$

2) Рассмотрим ΔKAO.

KA ⊥ AO (так как KA ⊥ (ABC), а значит ⊥ любой прямой в этой плоскости), то есть ΔKAO -- прямоугольный.

По теореме о сумме углов треугольника имеем:

∠KAO + ∠AKO + ∠KOA = 180°,

90° + ∠AKO + 45° = 180°  ⇒  ∠AKO = 45°.

∠AKO = ∠KOA  ⇒  ΔKAO -- равнобедренный  ⇒  AO = KA = 3√2 см.

По теореме Пифагора найдём KO:

$KO=\sqrt{KA^2+AO^2}=\sqrt{2AO^2}=\sqrt{2} \cdot\sqrt{AO^2} =AO\sqrt{2}=6\: cm.$

3) Рассмотрим ΔBDK.

$S_{\Delta BDK}=\frac{1}{2}BD\cdot KO=\frac{1}{2}\cdot 6\sqrt{2} \cdot 6=18\sqrt{2}\; cm^2.$